\documentstyle[12pt]{amsart} \textheight=574pt \textwidth=432pt \oddsidemargin=18.88pt \evensidemargin=18.88pt \topmargin=14.21pt \newtheorem{defi}{{\sc D\'efinition}} \newtheorem{lem}{{\sc Lemme}} \newtheorem{conj}{{\sc Conjecture}} \newtheorem{prop}{{\sc Proposition}} \newtheorem{th}{{\sc Th\'eor\`eme}} \newtheorem{cor}{{\sc Corollaire}} \newtheorem{rem}{Remarque} \newcommand{\rep}{repr\'esentation} \newcommand{\reps}{repr\'esentations} \newcommand{\Rep}{Repr\'esentation} \newcommand{\2}{{\frac{1}{2}}} \newcommand{\B}{{\bf B}} \newcommand{\z}{\zeta} \newcommand{\w}{\omega} \newcommand{\s}{\langle} \let\r\rangle \begin{document} \title [repr\'esentations de Weil sur un corps fini] {Construction g\'eom\'etrique de repr\'esentations de Weil sur un corps fini} \author{Jos\'e Pantoja et Jorge Soto-Andrade} \address{Pantoja: Instituto de Matem\'atica\\ Universidad Cat\'olica de Valpara\'{\i}so\\ Casilla 4059\\ Valpara\'{\i}so, Chile} \email{jpantoja@@aix1.ucv.cl} \address{Soto-Andrade: Departamento de Matem\'aticas\\ Universidad de Chile\\ Casilla 653\\ Santiago, Chile} \email{sotoandr@@orphee.polytechnique.fr ou sotoandr@@abello.dic.uchile.cl} \thanks{Pantoja a \'et\'e subventionn\'e par DGI-UCV 124.736/94, par la Coop\'eration fran\c caise (Programme ECOS), et par FONDECYT (Projet 1950895). Soto-Andrade a \'et\'e subventionn\'e par la Coop\'eration fran\c caise (Programme ECOS), par FONDECYT (Projet 1940590), ainsi que par le Grant NSF DMS/9022140 pendant son s\'ejour au MSRI.} \maketitle \begin{abstract} We construct, by contraction of a suitable complex vector bundle, the Weil representation of the finite symplectic group $Sp(A)$. We give an explicit description of the space of all lagrangian subspaces, which we use to compute the cocycle of our representation in terms of a geometric Gauss sum. We recover in this way previously constructed generalized Weil representations (see \cite{ast,cor}) by restriction of our representation to an appropiate embedding of $SL(n) $ into $Sp(A)$. \end{abstract} \section{Connexions \'equivariantes sur un $Sp(A) $-fibr\'e vectoriel} \indent Soit $ (W,A) $ un espace symplectique non-d\'eg\'en\'er\'e, de dimension paire $n = 2m$ sur un corps fini $k$ \`a $q$ \'el\'ements. Nous rappelons la construction g\'eom\'etrique de la \rep de Weil du groupe $Sp(A)$, par contraction d'un $Sp(A)$ - fibr\'e vectoriel complexe convenable \`a l'aide d'une connexion \'equivariante, qui a \'et\'e indiqu\'ee en \cite{arc} dans le cas $m = 1$. Posons $ G = Sp(A)$. D\'esignons $ \cal X$ l'ensemble de tous les caract\`eres non nuls du groupe additif $k^+$ de $k$ et fixons un caract\`ere non-trivial $\psi \in \cal X$. Nous d\'efinissons un $G$ - fibr\'e vectoriel complexe $(E,p,B, \tau)$ par les donn\'ees suivantes: - la base $B$ est l'ensemble de tous les sous-espaces lagrangiens (c'est-\`a-dire totalement isotropes maximaux) de l'espace symplectique $W$; - l'espace total $ E$ est la r\'eunion disjointe des espaces $E_L \; (L \in B) $ form\'es de toutes les fonctions complexes $f$ sur $W$ telles que $$ f(x+y ) = \psi(A(x,y))f(x ) $$ pour tous les $x \in W$ et $y \in L, \psi \in \cal X $ \'etant fix\'e; - $p$ d\'esigne la projection canonique de $E$ sur $B$, qui \`a chaque $f \in E_L$ fait correspondre $L$; - L'action $\tau $ de $G$ dans $E$ et $B$ est donn\'ee par $$ [\tau_g(f)](x) = f(g^{-1}(x)) $$, pour $g \in G, f \in E, x \in W,$ et $$ \tau_g(L) = g(L) $$ pour $g \in G, L\in B $. Nous d\'efinissons une connexion $\Gamma = \{ \gamma_{L',L}\}_{L',L \in B}$ sur le fibr\'e $(E,p,B) $ par $$(\gamma_{L',L}f)(\omega,\psi) = (|L||L\cap L'|)^{-\2}\sum_{ \zeta \in L'}\psi(A(\omega, \zeta))f(\omega + \zeta)$$ %\newpage \begin{prop} {\bf Propri\'et\'es de $\Gamma$} \begin{description} \item[i)] $$\gamma_{L,L} = Id_{E_L}$$ \item[ii)] $$ \gamma_{L,L' }\circ\gamma_{L',L } = \gamma_{L,L}= Id$$ \item[iii)] $$ \gamma_{L'',L' } \circ\gamma_{L',L } = |L'' \cap L'|^\2 (|L\cap L''| |L' \cap L | |L | )^{- \2}{\cal S} _L(L',L'')\gamma_{L'',L } $$ o\`u l'on note ${\cal S} _L(L',L'')$ , ou plus pr\'ecisement ${\cal S}^W _L(L',L'')$, la somme de Gauss g\'eom\'etrique associ\'ee \`a l'espace symplectique $W$ et ses lagrangiens $L, L', L'' $ , d\'efinie par %$$ \stackrel{^W}{ }\hspace{-7pt}{\cal S} _L(L',L'') = {\cal S} _L(L',L'') = %\sum _{\zeta \in L \cap %(L' + L'')} \psi(A(\zeta', \zeta'')) \; ,$$ $${\cal S} _L(L',L'') = {\cal S}^W _L(L',L'') = \sum _{\zeta \in L \cap (L' + L'')} \psi(A(\zeta', \zeta'')) \; ,$$ %\sum _{\zeta \in L \cap %(L' + L'')} \psi(A(\zeta', \zeta'')) \; ,$$ o\`u $\zeta'$ (resp. $\zeta''$ ) $\;$ d\'esigne la composante de $\zeta \in L \cap (L' + L'')$. selon $L'$ (resp. $L''$). \end{description} \end{prop} \begin{flushleft} {\em D\'emostration.-} \end{flushleft} ii) On a $$(\gamma_{L,L' }\circ\gamma_{L',L }f)(\w) = (|L||L\cap L'|)^{-\2} \sum_{ \zeta \in L}\psi(-A(\omega, \zeta))(\gamma_{L',L }f)(\w+ \z) = $$ $$ = (|L||L\cap L'|)^{-1}\sum_{ \zeta \in L} \sum_{ \zeta \in L'}\psi(-A(\omega, \zeta) - A(\w+\z,\z'))( f)(\w+ \z + \z')$$ $$= (|L||L\cap L'|)^{-1} \sum_{ \zeta \in L'}\sum_{ \zeta \in L}\psi(-A(\omega, \zeta) - A(\w+\z,\z')+ A(\w+\z',\z))( f)(\w + \z')$$ $$ = (|L||L\cap L'|)^{-1} \sum_{ \zeta \in L'}[\sum_{ \zeta \in L}\psi(2A(\z',\z)]\psi( - A(\w,\z') ) f(\w + \z') $$ $$ = (|L\cap L'|)^{-1} \sum_{ \zeta \in L'\cap L} \psi( - A(\w,\z') ) f(\w + \z') = f(\w) \; , $$ puisque le charact\`ere $\z \mapsto \psi(A(\z',\z)$ du groupe additif de $L$ est non-trivial si et seulement si $\z' \in L' \cap L^\perp = L \cap L'$ et que $f \in E_L$ iii) Nous avons, quels que soient $f \in E_L, \w \in W , \psi \in \cal X$, \begin{eqnarray*} \lefteqn{ (\gamma_{L,L'' }\circ\gamma_{L'',L' } \circ\gamma_{L',L }f)(\w ) =}\\ &= & (|L|^3|L''\cap L||L'\cap L''|)|L\cap L'|)^{-\2}\sum_{ \zeta'' \in L''} \sum_ {\z' \in L' } \sum_{\z \in L} \psi( - A(\w,\z ) -A(\w+\z, \z'') - \\ & & - A(\w + \z + \z'', \z'))f(\w +\z + \z'' +\z')\\ & = & (|L|^3|L''\cap L||L'\cap L''||L\cap L'|)^{-\2}\sum_{ \zeta'' \in L''} \sum_ {\z' \in L' } [\sum_{\z \in L} \psi(2A(\z''+\z', \z))]\psi( - A(\w,\z' + \z'' ) -A(\z'', \z')) \\ & & f(\w + \z'' +\z') \\ & = & (|L||L''\cap L||L'\cap L''||L\cap L'|)^{-\2} [\sum_{ \begin{array}{c} \z' \in L', \z'' \in L'' \\ \z' + \z'' \in L \end{array} } \psi(A(\z', \z'')) ] \psi( - A(\w,\z' + \z'' ) f(\w + \z'' +\z') \\ & = & (|L||L''\cap L||L\cap L'|)^{-\2} |L'\cap L''|^{\2} [\sum_{ \z \in L \cap (L' + L'')} \psi(A(\z', \z''))] \end{eqnarray*} o\`u, pour chaque $\z \in L \cap (L' + L'') $, on note $ \z'$(resp. $ \z''$) sa composante dans $L'$ (resp.$ L''$) selon une d\'ecomposition quelconque $\z = \z' + \z'' .$ On d\'efinit ainsi une forme quadratique $ Q_L^{L',L''}$ sur l'espace $L \cap (L' + L'') $ par $$Q_L^{L',L''}(\z) = A(\z , \z') , $$ quel que soit $\z \in L \cap (L' + L'') $ ' , et o\`u $\z = \z' + \z'' $ est une d\'ecomposition quelconque de $\z \in L \cap (L' + L'') $, avec $\z' \in L'$ et $\z' \in L''$. Notons que la valeur de $A(\z' , \z'') $ ne d\'epend alors pas de la d\'ecomposition choisie de $\z \in L \cap (L' + L'')$ \begin{cor}.- $\Gamma$ est une connexion $G$ -\'equivariante sur le fibr\'e $ (E,p,B, \tau)$ , dont le multiplicateur $\mu$ est donn\'e par $$ \mu(L'',L",L) = |L'' \cap L'|^\2 (|L\cap L''| |L' \cap L | |L | )^{- \2}{\cal S} _L(L',L'') $$ \end{cor} \section { Calcul de la somme de Gauss g\'eom\'etrique ${\cal S} _L(L',L'')$} \indent Nous d\'ecrivons tout d'abord les sous-espaces lagrangiens de l'espace symplectique $(W,B)$. % \section{Modules symplectiques.-} Notons $A$ l'anneau involutif $A$ des matrices $n \times n$ sur $k$, dont l'involution est la transpos\'ee. A chaque espace symplectique $(W,B)$, de dimension paire $2m$, sur le corps $k$ on associe un module symplectique $(M, \B)$ sur $A$, comme suit:\\ On pose $M = W^m$ et l'on muni $M$ de la forme sesquilin\'eaire altern\'ee $ \bf B$ \`a valeurs dans $A$ donn\'ee par $$ {\bf B}(u,v) = (B(u_i,v_j))_{1\leq i,j \leq m} $$ On a alors $$ \B(hu,v) = h\B(u,v) \; $$ $$ \B(u,hv) = \B(u,v)h^* $$ $$ \B(v,u) = \B(u,v)^* \;$$ D'autre part d\'esignons par $\langle u \rangle$ le sous-espace vectoriel de $W$ engendr\'e par les composantes $u_1, \dots ,u_n$ de $u \in M = W^m$. On note alors $rg u$ le rang de $u \in M$, d\'efini comme la dimension de l'espace $\s u \r$. On a $ rg u = m$ si et seulement si $u$ est un vecteur libre dans le $A$-module $M$. Notons que $\s u \r = \s v \r$ si et seulement si $ v = hu $ pour une matrice $h \in A$ convenable. Remarquons que pour que $\s u \r$ soit Lagrangien il faut et il suffit que $u$ soit un vecteur isotrope libre dans le module symplectique $(M, \B)$. Soit $\{p_1, \dots, p_m, q_1, \dots , q_m \}$ une base symplectique de $(W,B)$. Alors on a $$ B(p_i,q_j) = \delta_{i,j} $$ quels que soient $ 1 \leq i,j \leq m $ et les deux vecteurs isotropes $P = (p_1, \dots, p_m)$ et $Q = (q_1, \dots , q_m)$ forment un syst\`eme libre dans $M$ tel que $ \B(P,Q) = Id_m$ \begin{prop} Pour que l'espace $ L_{a,b} = \s aP + bQ \r, \; \; (a,b \in A)$ soit Lagrangien il faut et il suffit que $aA + bA = A$ (on dit alors que $a$ et $b$ sont relativement premiers) et que $ab^* = ba^*$. En plus, tout sous-espace Lagrangien $L$ de $(W,B)$ est un $L_{a,b} $ pour $a, b \in A $ convenables et $L_{a,b} = L_{a',b'}$ \'equivaut \`a $ a' = ca $ et $ b' = cb$ pour un $c \in A$. \end{prop} %Developper le point de vue anneau involutif et module symplectique sur %un anneau involutif. Remarquons que le $A$-module $M$ est muni d'une application $ (\lambda, v) \mapsto \lambda \cdot u = \lambda_1u_1 + \dots + \lambda_mu_m $ de $k^m \times M$ sur $W$, qui permet d'identifier en fait $M$ avec %le produit tensoriel $k^m \otimes W$ de $k^m$ et $W$ sur $k$ $Hom_k(k^m, W)$ en tant que $A$- module gauche. \begin{lem} On a $$ g(L_{[a,b]}) = L_{[a,b]g^*} $$ quelques soient $ g \in G, L_{[a,b]} \in \cal L$ \end{lem} \begin{lem} On a, quels que soient $\lambda, \mu \in k^m, a,b \in A, u,v \in M,$ $$ B(\lambda \cdot u,\; \; \mu \cdot v )= \lambda \ \B(u,v) \mu $$ \end{lem} \begin{prop} On a $$ S_{L_{[a,b]}}(L',L'') = S(ab^ {\ast}) , $$ o\`u l'on note $S(Q)$ la somme de Gauss classique $$ \sum_{x \in E} \psi(Q(x)) \; ,$$ associ\'ee \`a un espace quadratique $(E,Q) \; ,$ le caract\`ere non-trivial $\;\psi$ du groupe additif $\; k^+$ \'etant fix\'e. \end{prop} \begin{lem} Soient $ L', L'' \in \cal L .\;\;$ Alors pour chaque $L \in \cal L$ le sous-espace $$ \tilde{L} = L \cap (L' + L '') + L' \cap L'' $$ de $L' + L ''$ est encore un sous-espace lagrangien de $W$ et le sous-espace $\tilde{L}/ L' \cap L''$ est un lagrangien de l'espace symplectique non-d\'eg\'en\'er\'e $(L' + L '')/ L' \cap L''$. En plus on a $$ S_{L}^W(L',L'') = |L \cap L' \cap L''| S^{(L' + L'')/ L' \cap L''}_{\tilde{L}/ L' \cap L''}({L'/ L' \cap L'', L''/ L' \cap L''}) $$ \end{lem} \begin{prop} On a $$ |S_{L}(L',L'')| = |L'' \cap L'|^{-\2}(|L\cap L''| |L' \cap L | |L | )^{ \2} = q^{m - \2r(ab^*)} = q^{\2(3m - r(a) - r (b))}, $$ quels que soient $L, L', L'' \in \cal L $, o\`u $r(x)$ d\'esigne le rang d'une matrice $x \in A$. \end{prop} \begin{prop} Le cocycle $c(g,h) $ de la repr\'esentation de Weil $(V,\rho)$ de $G$ associ\'ee \`a $L_o \in B$ est donn\'e par $$ c(g,h) = |{\cal S} _{L_o}(gL_o,ghL_o)|^{-1}{\cal S} _{L_o}(gL_o,ghL_o) \; $$ quels que soient $ g,h \in G$. \end{prop} %Valeur explicite du cocycle $c(g,h) $ en termes de la somme de Gauss... \section{Les repr\'esentations de Weil g\'en\'eralis\'ees des groupes $ SL(n,k)$} \indent Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur le corps fini $k$. Nous d\'efinissons l'espace symplectique $ (W, A) $ associ\'e \`a $V$ par $ \; W = \bigwedge^1 V \oplus \bigwedge^3 V \oplus \dots \oplus \bigwedge^{n-1}V \;\;\;$ si $n$ est pair (resp. $\;W = \bigwedge^1 V \oplus \bigwedge^2 V \oplus \dots \oplus \bigwedge^{n-1}V \;\;\;$ si $n$ est impair) et $$ A(\omega, \zeta) = (\omega \wedge \zeta)_n \in \bigwedge^n V \simeq k $$ (resp. $$ A(\omega, \zeta) = (\omega \wedge \zeta^\vee)_n \in \bigwedge^n V \simeq k \;\; , $$ o\`u $ \zeta^\vee = \sum_{0 \leq i \leq n }(-1)^i\zeta_i \; $ pour $ \;\; \zeta = \sum_{0 \leq i \leq n }\zeta_i ).$ Le groupe $H = SL(V) \simeq SL(n,k)$ agit naturellement dans $(W,A)$ et s'identifie ainsi a un sous-groupe de $G$ , auquel nous pouvons restreindre la repr\'esentation de de Weil g\'en\'eralis\'ee d\'ecrite ci-dessus. Notons $(U, \rho)$ la repr\'esentation de $H$ ainsi obtenue. On recup\`ere ainsi les repr\'esentations que nous avons construites dans \cite{ast}, \cite{cor}. De plus, comme la connexion $\Gamma$ que nous avons construite ci-dessus permet de passer d'une $H$ orbite quelconque \`a une autre, elle fournit en fait des isomorphismes entre des repr\'esentations de Weil g\'en\'eralis\'ees de $H$ associ\'ees \`a des orbites diff\'erentes. Ceci s'applique en particulier au cas des $H$-orbites r\'eduites \`a un lagrangien et aux orbites introduites dans loc. cit., et fournit une construction uniforme de certains isomorphismes notables entre des repr\'esentations naturelles et des repr\'esentations de Weil g\'en\'eralis\'ees, d\'ej\`a remarqu\'es par P. Cartier dans les ann\'ees 60, dans le cas $n = 2 $. Nous remarquons enfin que l'on peut construire des op\'erateurs d'entrelacement de $(U, \rho)$ comme suit. Soit $\phi$ un automorphisme symplectique $W$ qui commute \`a l'action de $H$ dans $W$. L'automorphisme $\phi$ fournit alors un automorphisme du $G$-fibr\'e vectoriel associ\'e \`a l'espace symplectique $(W,A)$, d\'efini au paragraphe 1, qui commute avec sa connection $\Gamma$. On en tire aussit\^ot un automorphisme $\Phi$ de la repr\'esentation $(U, \rho)$. On peut v\'erifier que, pour $ n \leq 4 $, le groupe d'op\'erateurs d'entrelacement ainsi obtenu (qui repr\'esente donc le centralisateur $Z_G(H)$ de $H$ dans $G$ ) engendre l'essentiel de l'alg\`ebre commutante de la repr\'esentation $(U, \rho)$ de $H$ (au sens que le rapport entre la dimension du sous-espace vectoriel engendr\'e par ces op\'erateurs et la dimension de l'alg\`ebre commutante de la repr\'esentation $(U, \rho)$ tend vers $1$ pour $q$ tendant vers l'infini). \begin{thebibliography}{50} \bibitem{michele} Lion, G. and Verne, M., {\it The Weil Representation, Maslow Index and Theta Series}, Progress in Math., vol. 6, Birk\"auser-Verlag, Basel-Boston, 1980. \bibitem{ast} Pantoja, J., Soto-Andrade, J., Groupes de Grassmann-Heisenberg et repr\'esentations de Weil g\'en\'eralis\'ees pour $SL(n)$, $n$ paire, Ast\'erisque {\bf 168}(1988), p. 167-190. \bibitem{cor}Pantoja, J., Soto-Andrade, J., Generalized Weil representations for $SL(n,k) $ , $n$ odd, $k$ a finite field, p. 199-206, dans {\it New Developpments in Lie Theory and their Applications}, eds. J. A. Tirao, N. Wallach, Birkh\"auser-Verlag, Boston,1992. \bibitem{arc} Soto-Andrade, J., Geometrical Gel'fand Models, tensor quotients and Weil representations, Proc. Symp. Pure Maths., {\bf 47}, AMS, Providence, 1987, p. 305-316. \end{thebibliography} \end{document}